Metalogic , o estudo e análise da semântica (relações entre expressões e significados) e sintaxe (relações entre expressões) de linguagens formais e sistemas formais. Está relacionado, mas não inclui, o tratamento formal das línguas naturais. (Para uma discussão sobre a sintaxe e semântica das línguas naturais, consulte lingüística e semântica.)
Natureza, origens e influências da metalógica
Sintaxe e semântica
Uma linguagem formal geralmente requer um conjunto de regras de formação - ou seja, uma especificação completa dos tipos de expressões que contarão como fórmulas bem formadas (sentenças ou expressões significativas), aplicáveis mecanicamente, no sentido de que uma máquina poderia verificar se um candidato satisfaz os requisitos. Esta especificação geralmente contém três partes: (1) uma lista de símbolos primitivos (unidades básicas) fornecidos mecanicamente, (2) certas combinações desses símbolos, escolhidos mecanicamente como formando as sentenças (atômicas) simples, e (3) um conjunto de cláusulas indutivas - indutivas na medida em que estipulam combinações naturais de sentenças dadas formadas por conectivos lógicos como a disjunção “ou”, que é simbolizada por “∨”; “Não,” simbolizado “∼”; e “para todos”, simbolizado “(∀),” são novamente sentenças. [“(∀)” é chamado de quantificador,como também “há algum”, simbolizado “(∃)”.] Uma vez que essas especificações estão preocupadas apenas com símbolos e suas combinações e não com significados, elas envolvem apenas a sintaxe da linguagem.
Uma interpretação de uma linguagem formal é determinada pela formulação de uma interpretação das sentenças atômicas da linguagem em relação a um domínio de objetos - isto é, estipulando quais objetos do domínio são denotados por quais constantes da linguagem e quais relações e funções são denotado por quais letras predicativas e símbolos de função. O valor de verdade (seja “verdadeiro” ou “falso”) de cada frase é assim determinado de acordo com a interpretação padrão dos conectivos lógicos. Por exemplo, p · q é verdadeiro se e somente se p e qsão verdade. (Aqui, o ponto significa a conjunção “e”, não a operação de multiplicação “tempos”.) Assim, dada qualquer interpretação de uma linguagem formal, um conceito formal de verdade é obtido. Verdade, significado e denotação são conceitos semânticos.
Se, além disso, um sistema formal em uma linguagem formal é introduzido, surgem certos conceitos sintáticos - a saber, axiomas, regras de inferência e teoremas. Certas frases são apontadas como axiomas. Estes são teoremas (básicos). Cada regra de inferência é uma cláusula indutiva, afirmando que, se certas sentenças são teoremas, então outra sentença relacionada a elas de forma adequada também é um teorema. Se p e “ou não- p ou q ” (∼ p ∨ q ) são teoremas, por exemplo, então q é um teorema. Em geral, um teorema é um axioma ou a conclusão de uma regra de inferência cujas premissas são teoremas.
Em 1931, Kurt Gödel fez a descoberta fundamental de que, na maioria dos sistemas formais interessantes (ou significativos), nem todas as sentenças verdadeiras são teoremas. Decorre dessa descoberta que a semântica não pode ser reduzida à sintaxe; assim, a sintaxe, que está intimamente relacionada à teoria da prova, deve freqüentemente ser diferenciada da semântica, que está intimamente relacionada à teoria do modelo. A grosso modo, a sintaxe - conforme concebida na filosofia da matemática - é um ramo da teoria dos números, e a semântica é um ramo da teoria dos conjuntos, que lida com a natureza e as relações dos agregados.
Historicamente, à medida que os sistemas lógicos e axiomáticos se tornavam cada vez mais exatos, surgiu, em resposta a um desejo de maior lucidez, uma tendência a prestar mais atenção às características sintáticas das línguas empregadas, em vez de se concentrar exclusivamente em significados intuitivos. Assim, a lógica, o método axiomático (como o empregado na geometria) e a semiótica (a ciência geral dos signos) convergiram para a metalógica.
O método axiomático
O sistema axiomático mais conhecido é o de Euclides para a geometria. De maneira semelhante à de Euclides, toda teoria científica envolve um corpo de conceitos significativos e uma coleção de afirmações verdadeiras ou acreditadas. O significado de um conceito pode frequentemente ser explicado ou definido em termos de outros conceitos e, da mesma forma, a verdade de uma afirmação ou a razão para acreditar nela pode geralmente ser esclarecida indicando que pode ser deduzida de certas outras afirmações já aceitas. O método axiomático prossegue em uma sequência de etapas, começando com um conjunto de conceitos e proposições primitivas e, em seguida, definindo ou deduzindo todos os outros conceitos e proposições na teoria a partir deles.
A compreensão que surgiu no século 19 de que existem diferentes geometrias possíveis levou a um desejo de separar a matemática abstrata da intuição espacial; em conseqüência, muitos axiomas ocultos foram descobertos na geometria de Euclides. Essas descobertas foram organizadas em um sistema axiomático mais rigoroso por David Hilbert em seu Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ). Neste e em sistemas relacionados, entretanto, os conectivos lógicos e suas propriedades são tidos como certos e permanecem implícitos. Se a lógica envolvida for considerada a do cálculo de predicados, o lógico pode então chegar a sistemas formais como o discutido acima.
Uma vez obtidos esses sistemas formais, é possível transformar certos problemas semânticos em problemas sintáticos mais nítidos. Foi afirmado, por exemplo, que as geometrias não euclidianas devem ser sistemas autoconsistentes porque têm modelos (ou interpretações) na geometria euclidiana, que por sua vez tem um modelo na teoria dos números reais. Pode-se então perguntar, entretanto, como se sabe que a teoria dos números reais é consistente no sentido de que nenhuma contradição pode ser derivada dentro dela. Obviamente, a modelagem pode estabelecer apenas uma consistência relativa e precisa parar em algum lugar. Tendo chegado a um sistema formal (digamos, de números reais), no entanto, o problema de consistência tem então o foco mais nítido de um problema sintático:o de considerar todas as provas possíveis (como objetos sintáticos) e perguntar se alguma delas tem (digamos) 0 = 1 como a última frase.
Como outro exemplo, a questão de saber se um sistema é categórico - isto é, se ele determina essencialmente uma interpretação única no sentido de que quaisquer duas interpretações são isomórficas - pode ser explorada. Esta questão semântica pode até certo ponto ser substituída por uma questão sintática relacionada, a da completude: se há no sistema qualquer sentença tendo um valor de verdade definido na interpretação pretendida de forma que nem aquela sentença nem sua negação sejam um teorema. Embora já se saiba que os conceitos semântico e sintático são diferentes, a vaga exigência de que um sistema seja “adequado” é esclarecida por ambos os conceitos. O estudo de questões sintáticas afiadas como aquelas de consistência e completude, que foi enfatizado por Hilbert, foi chamado de “metamatemática” (ou “teoria da prova”) por ele por volta de 1920.
