As provas de fórmulas de Arquimedes para áreas e volumes definem o padrão para o tratamento rigoroso dos limites até os tempos modernos. Mas a maneira como ele descobriu esses resultados permaneceu um mistério até 1906, quando uma cópia de seu tratado perdido O Método foi descoberta em Constantinopla (agora Istambul, Turquia).
Descobriu-se que Arquimedes havia usado um método mais tarde conhecido como princípio de Cavalieri, que envolve o fatiamento de sólidos (cujos volumes devem ser comparados) com uma família de planos paralelos. Em particular, se cada plano na família corta dois sólidos em seções transversais de área igual, então os dois sólidos devem ter o mesmo volume ( veja a figura). Pode-se pensar no sólido como uma soma dessas seções, chamadas indivisíveis. Arquimedes realmente elaborou esse princípio, não apenas comparando as seções correspondentes na área, mas também “equilibrando-as” pela lei da alavanca.
A ideia de fatiar por planos paralelos foi redescoberta na China, e uma prova mais simples de que o volume de uma esfera é dois terços do volume de seu cilindro circunscrito, usando apenas áreas, foi dada por Liu Hui em 263 dC. essas linhas foram dadas pelo matemático italiano Bonaventura Cavalieri em seu Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; “Um certo método para o desenvolvimento de uma nova geometria de indivisíveis contínuos”). Cavalieri observou o que acontece quando um hemisfério e seu cilindro circunscrito são cortados pela família de planos paralelos à base do cilindro: cada seção em forma de disco da esfera tem a mesma área que a seção anular correspondente do complemento de um cone em o cilindro ( verfigura). A fórmula para o volume da esfera segue imediatamente o teorema de Eudoxus de que o volume de um cone é um terço do volume de seu cilindro circunscrito.
