O teorema de Pitágoras afirma que a soma dos quadrados nas pernas de um triângulo retângulo é igual ao quadrado na hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) - na conhecida notação algébrica, a 2 + b 2 = c 2. Os babilônios e os egípcios encontraram alguns triplos inteiros ( a , b , c ) que satisfazem a relação. Pitágoras (c. 580-c. 500 aC) ou um de seus seguidores pode ter sido o primeiro a provar o teorema que leva seu nome. Euclides (c. 300 aC) ofereceu uma demonstração inteligente do teorema de Pitágoras em seus Elementos , conhecida como a prova do moinho de vento a partir da forma da figura.
- Desenhe quadrados nas laterais do Δ A B C direito .
- B C H e A C K são linhas retas porque ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, por construção.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , por 3.
- A C = A I e A B = A E , por construção.
- Portanto, Δ B A I ≅ Δ E A C , pelo teorema do ângulo lateral (ver Barra Lateral: A Ponte dos Asses), conforme destacado na parte (a) da figura.
- Desenhar C F paralela ao B D .
- Rectângulo Um G F E = 2Δ A C E . Este resultado notável deriva de dois teoremas preliminares: (a) as áreas de todos os triângulos na mesma base, cujo terceiro vértice se encontra em qualquer parte de uma linha indefinidamente estendida paralela à base, são iguais; e (b) a área de um triângulo é a metade de qualquer paralelogramo (incluindo qualquer retângulo) com a mesma base e altura.
- Quadrado A I H C = 2Δ B A I , pelo mesmo teorema do paralelogramo como na etapa 8.
- Portanto, retângulo A G F E = quadrado A I H C , pelas etapas 6, 8 e 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , como nas etapas 3 e 4.
- B C = B J e B D = A B , por construção como na etapa 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , como no passo 6 e destacado na parte (b) da figura.
- Retângulo B D F G = 2Δ C B D , como na etapa 8.
- Quadrado C K J B = 2Δ J B A , como na etapa 9.
- Portanto, retângulo B D F G = quadrado C K J B , como na etapa 10.
- Quadrado A B D E = retângulo A G F E + retângulo B D F G , por construção.
- Portanto, quadrado A B D E = quadrado A I H C + quadrado C K J B , pelas etapas 10 e 16.
O primeiro livro de Euclides Elementscomeça com a definição de um ponto e termina com o teorema de Pitágoras e seu inverso (se a soma dos quadrados dos dois lados de um triângulo é igual ao quadrado do terceiro lado, deve ser um triângulo retângulo). Essa jornada de uma definição particular a uma afirmação matemática abstrata e universal foi considerada emblemática do desenvolvimento da vida civilizada. Um exemplo notável da identificação do raciocínio de Euclides com a mais alta expressão de pensamento foi a proposta feita em 1821 por um físico e astrônomo alemão de iniciar uma conversa com os habitantes de Marte, mostrando-lhes nossas reivindicações de maturidade intelectual. Tudo o que precisávamos fazer para atrair seu interesse e aprovação, afirmava-se, era arar e plantar grandes campos na forma do diagrama do moinho de vento ou, como outros propuseram,cavar canais sugestivos do teorema de Pitágoras na Sibéria ou no Saara, enchê-los de óleo, incendiá-los e aguardar uma resposta. O experimento não foi tentado, deixando indeciso se os habitantes de Marte não têm telescópio, geometria ou existência.
